IB Physics 核心教案
功与能 · 动量与冲量 · 圆周运动与万有引力
总览：三大模块都源于牛顿第二定律 $F=ma$，分别从空间维度（×位移）、时间维度（×时间）和具体运动形式（圆周）展开。理解它们之间的联系比孤立记忆公式更重要。
第一单元：功与能 (Work, Energy & Power)
1.1 功（Work） ⭐
$$W = Fs\cos\theta = \vec{F} \cdot \vec{s}$$
功是力在空间上的累积效应。$\theta$ 是力与位移的夹角。
| $\theta$ | $\cos\theta$ | 功的正负 | 示例 |
|---|---|---|---|
| $0°$ | $+1$ | 正功最大 | 推力与运动同向 |
| $90°$ | $0$ | 不做功 | 向心力 |
| $180°$ | $-1$ | 负功 | 摩擦力 |
例 1.1 A block is pulled 5.0 m by a 40 N rope at 30° to horizontal. Friction = 10 N. Find: (a) work by tension (b) work by friction (c) net work.
解题过程
(a) $W_T=40\times5.0\times\cos30°=173\text{ J}$
(b) $W_f=10\times5.0\times\cos180°=-50\text{ J}$
(c) $W_{\text{net}}=123\text{ J}$
1.2 动能定理 (Work-Energy Theorem) ⭐⭐
$$W_{\text{net}} = \Delta E_k = \tfrac{1}{2}mv_f^2 - \tfrac{1}{2}mv_i^2$$
推导：由 $F=ma$ 和 $v_f^2-v_i^2=2as$ 消去 $a$ 即可得。
例 1.2 A 1.5 kg mass at rest, net force 6.0 N over 4.0 m. Find final speed.
解题过程
$W_{\text{net}}=6.0\times4.0=24\text{ J}$；$24=\frac12\times1.5\times v_f^2$；$v_f=\sqrt{32}=5.66\text{ m/s}$
1.3 势能与机械能守恒 ⭐⭐
$E_p = mgh$（重力势能） $E_{p\text{弹}} = \frac{1}{2}kx^2$（弹性势能）
$$E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$$
条件：只有保守力做功，无摩擦力。若有摩擦力：$W_f=\Delta E$。
例 1.3 A 5.0 kg block slides down a rough incline (30°, 8.0 m, $\mu_k=0.25$). Find speed at bottom.
解题过程
$h=4.0\text{ m}$；$W_g=196\text{ J}$；$f=10.6\text{ N}$；$W_f=-84.8\text{ J}$；$W_{\text{net}}=111.2\text{ J}$；$v=6.67\text{ m/s}$
无摩擦时 $v=\sqrt{2gh}=8.85$ m/s。摩擦使速度减小。
1.4 功率 (Power) ⭐
$P=\frac{W}{t}$（平均） $P=Fv$（瞬时，$F$与$v$同向）
例 1.4 A 1000 kg car, max power 50 kW, resistive force 500 N. (a) Max speed? (b) Acceleration at 20 m/s?
解题过程
(a) $v_{\text{max}}=P/F=50000/500=100\text{ m/s}$
(b) $F=P/v=2500\text{ N}$；$F_{\text{net}}=2000\text{ N}$；$a=2.0\text{ m/s}^2$
第二单元：动量与冲量 (Momentum & Impulse)
2.1 动量定理 ⭐⭐
$\vec{p}=m\vec{v}$（动量，矢量） $\vec{I}=\vec{F}t$（冲量，$F$-$t$图面积）
$$\vec{I} = \Delta\vec{p} = m\vec{v}_f - m\vec{v}_i$$
| 动能定理 | 动量定理 | |
|---|---|---|
| 着眼点 | 力在空间的累积 | 力在时间的累积 |
| 核心量 | $W=Fs\cos\theta$ | $I=Ft$ |
| 方程性质 | 标量方程 | 矢量方程 |
| 图形 | $F$-$s$ 图面积 | $F$-$t$ 图面积 |
例 2.1 Tennis ball 0.058 kg served at 55 m/s. Contact 0.0050 s. Average force?
解题过程
$\Delta p=0.058\times55=3.19$ kg·m/s；$F=3.19/0.005=638$ N（≈65 kg 体重！）
2.2 动量守恒与碰撞 ⭐⭐⭐
$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$$
条件：合外力为零；或内力≫外力（碰撞/爆炸）；或某方向合外力为零。
| 类型 | 动量 | 动能 | $e$ |
|---|---|---|---|
| 完全弹性 | 守恒 | 守恒 | $1$ |
| 非完全弹性 | 守恒 | 不守恒 | $0\!<\!e\!<\!1$ |
| 完全非弹性 | 守恒 | 损失最大 | $0$ |
等质量碰撞 → 交换速度；$m_1\gg m_2$ → $v_2'\approx 2v_1$；$m_1\ll m_2$ → $v_1'\approx -v_1$（反弹）
$$E_k = \frac{p^2}{2m}, \quad p = \sqrt{2mE_k}$$
动量与动能的桥梁公式。$p$相同时 $E_k\propto 1/m$；$E_k$相同时 $p\propto\sqrt{m}$。
例 2.2 3.0 kg at 4.0 m/s collides elastically with stationary 1.0 kg. Find final velocities.
解题过程
$v_1'=\frac{3-1}{3+1}\times4=2.0$ m/s；$v_2'=\frac{2\times3}{4}\times4=6.0$ m/s
第三单元：圆周运动与万有引力
3.1 圆周运动基础 ⭐⭐
$v=\omega r$（桥梁公式） $\omega=2\pi/T=2\pi f$
$a_c=v^2/r=\omega^2 r=4\pi^2 r/T^2$（向心加速度）
$F_c=mv^2/r=m\omega^2 r$（向心力——是效果力，不是新力！）
例 3.1 Roller coaster vertical loop $r=15$ m. (a) Min speed at top? (b) Min starting height?
解题过程
(a) $v_{\text{top}}=\sqrt{gr}=12.1\text{ m/s}$
(b) $mgh=mg\cdot2r+\frac12mv_{\text{top}}^2=2.5mgr$ → $h=2.5r=37.5$ m
3.2 万有引力 ⭐⭐⭐
$$F=G\frac{Mm}{r^2},\quad G=6.67\times10^{-11}$$
黄金代换：$mg=G\frac{Mm}{R^2}$ → $GM=gR^2$（极其常用！）
3.3 天体运动 ⭐⭐⭐
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$（引力提供向心力）
$v=\sqrt{GM/r}$（越高越慢） $T=2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$（开普勒三）
$v_1=\sqrt{gR}\approx7.9$ km/s（第一宇宙速度） $v_2=\sqrt{2gR}\approx11.2$ km/s（逃逸速度）
卫星总机械能：$E=-\frac{GMm}{2r}$（圆轨道），$E_k=-E$，$E_p=2E$。
例 3.2 Satellite at 600 km altitude, $m=500$ kg. (a) $v$? (b) $T$? (c) Total $E$?
解题过程
$r=6.97\times10^6$ m；$v=7.56$ km/s；$T=5794$ s≈96.6 min；$E=-1.43\times10^{10}$ J
第四单元：跨模块综合例题
综合 1 子弹打摆：0.010 kg bullet at 800 m/s embeds in 2.0 kg pendulum block on 1.5 m string. (a) Speed after? (b) Max height? (c) Tension at lowest/highest?
解题过程
(a) 碰撞（动量守恒）：$v'=3.98$ m/s
(b) 摆动（机械能守恒）：$h=0.808$ m
(c) 最低点：$T=40.9$ N；最高点：$T=9.08$ N
两阶段分析法：碰撞阶段动量守恒（机械能不守恒）；摆动阶段机械能守恒。
综合 2 Hohmann Transfer：2000 kg satellite from 300 km to 36000 km. (a) $v$ in each orbit? (b) $\Delta E$ needed? (c) Why speed up to go higher, but orbital $v$ is slower?
解题过程
$r_1=6.67\times10^6$ m，$r_2=4.237\times10^7$ m
$v_1=7.73$ km/s，$v_2=3.07$ km/s
$E_1=-5.97\times10^{10}$ J，$E_2=-9.39\times10^9$ J，$\Delta E=5.03\times10^{10}$ J
解释："加速"是变轨瞬间点火增加速度，但高轨道的稳定运行速度 $v=\sqrt{GM/r}$ 确实更小。
综合 3 弹簧→碰撞→圆弧：0.50 kg block A compresses spring ($k=1200$ N/m, $x=0.15$ m), released, collides elastically with stationary 1.0 kg block B, which slides up quarter-circle arc ($r=0.80$ m).
解题过程
(a) $v_A=\sqrt{kx^2/m_A}=7.35$ m/s
(b) $v_A'=-2.45$ m/s（反弹），$v_B'=4.90$ m/s
(c) 需 7.84 J，实有 12.0 J → 能到达
(d) $v_{\text{top}}=2.88$ m/s；(e) $N_{\text{bottom}}=39.8$ N
附录：核心公式速查
| 模块 | 公式 | 名称 |
|---|---|---|
| 功与能 | $W=Fs\cos\theta$ | 功 |
| $W_{\text{net}}=\Delta E_k$ | 动能定理 | |
| $E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$ | 机械能守恒 | |
| $P=W/t=Fv$ | 功率 | |
| 动量 | $p=mv$ | 动量 |
| $I=\Delta p$ | 动量定理 | |
| $\sum p_i=\sum p_f$ | 动量守恒 | |
| $E_k=p^2/(2m)$ | 动-能关系 | |
| 圆周与引力 | $a_c=v^2/r=\omega^2r$ | 向心加速度 |
| $F=GMm/r^2$ | 万有引力 | |
| $GM=gR^2$ | 黄金代换 | |
| $v=\sqrt{GM/r}$ | 轨道速度 | |
| $E=-GMm/(2r)$ | 卫星总能 |
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